a). Exploiter les failles physiques de la roulette

 

  • Les tricheurs : histoire d'hommes observateurs.

 

                       1.Joseph Jagger

 

Tombe de Joseph Jagger      Joseph Jagger est né en Angleterre en 1830. Lors d’un voyage à Monte Carlo, en 1873, il se rend au casino. Le casino de Monte Carlo est un des premier d’Europe à avoir adopté la roulette des frères Blanc et de ce fait il a acquis une grande réputation. Joseph Jagger ne jouait pas, mais il aimait regarder les roulettes et leurs mécanismes. C’est alors qu’il remarque que certains numéros sortent plus souvent que d’autres. Il poursuit son observation et acquiert la certitude qu’une des roulettes est défaillante. Voyant qu’il a la possibilité de gagner gros, Joseph soudoie quelques croupiers et commence à jouer.

     Jours après jours, toujours sur la même roulette, toujours en misant sur les mêmes numéros, Joseph Jagger amasse une petite fortune.

 

      Il se fait remarquer par la sécurité du casino qui, voyant qu’il gagne la plupart de ces paris soupçonne une triche. La mesure est alors prise, pendant la période de fermeture du casino, de déplacer toutes les tables de roulette.

     Le lendemain, comme à son habitude, Joseph Jagger revint et commença à jouer. Après une série de perte, il se rend compte qu’il ne joue pas sur la roulette défaillante. Il recommence donc à observer attentivement les autres roulettes, retrouve rapidement la roulette voilée (grâce à un défaut de la partie supérieure) et recommence à parier sur celle-ci. Il empoche dans la soirée l’équivalent de 450 000$.

 

     Alors, à la fermeture, le Casino démonte toutes les roulettes et remplace les pièces de la partie supérieure. En résulte qu’au lendemain Joseph Jagger n’a plus aucun moyen d’identifier sa roulette fétiche, à moins de recommencer une longue période d’observation. Il cesse définitivement de jouer après une série de pertes. Ses gains s’élèvent alors à 325 000$, somme astronomique à l’époque.

 

      Il resta dans les mémoires et son histoire fut même mise en chanson : «The man who broke the bank at Monte Carlo" qui fut un succès en Angleterre.

Lien vers la chanson : http://www.youtube.com/watch?v=Gx1SWS1MFbU&feature=related

Cependant les casinos ne prirent aucune mesure pour s’assurer que leurs roulettes étaient bien équilibrées.

 

 

                      2.Les Pelayos

Pelayo

     La famille espagnole Pelayos a renouvelé l’expérience de Joseph Jagger. Dans les années 90.

     Gonzalo Pelayo, originaire de Madrid, est persuadé que les roulettes ne sont pas des machines parfaites et qu’il existe donc un moyen d’inverser l’avantage du casino. Pour vérifier son hypothèse, il se met à observer les roulettes d’un casino de Madrid et s’aperçoit rapidement que certains numéros sortent plus que d’autres, mais pour avoir des résultats exploitables, il lui faut établir des statistiques pour chaque n° sur plus de 5000 tirages (voir documents annexes).

      Pour l’aider dans cette entreprise, Gonzalo Pelayo fait alors appel à sa famille, ils mettent un important réseau en place et chaque roulette est scrupuleusement examinée. Le processus dure deux semaines, de l’ouverture à la fermeture des casinos.

      Les résultats montrèrent qu’effectivement aucune des roulettes n’étaient parfaite et que sur chacune certains n° sortaient plus souvent.

 

     Vint alors le moment de jouer, et ce fut un franc succès. Peu après, le casino de Madrid fermait ses portes à Los Pelayos (les noms de famille s’accordent en espagnol).

     Peu importe, pour les Pelayos, ce fut une révélation et appâtés par cet argent facile ils renouvelèrent l’expérience, faisant sauter les banques des casinos du monde entier : Vienne, Copenhague, Londres, et …Las Vegas.

 

      En réaction, des casinos ont attaqués en justice les membres de cette famille, remettant en cause la légalité de leur méthode. Suite à un procès ayant duré presque 10 ans la justice a tranché en faveur des Pelayos, lesquels conservent donc leurs gains à hauteur d’environ 1.5 million de dollars.

     De plus, la famille a publié un livre narrant son histoire hors du commun, La Fabuleuse Histoire de Los Pelayos se vendit à plus de 20 000 exemplaires et il serait question d’adapter cinématographiquement le livre.

(dirigez vous directement vers la conclusion si vous n'êtes pas intéressé par les mathématiques :http://tpe-groupe8.e-monsite.com/rubrique,conclusion,569636.html )

 

  • La triche : en mathématique.

 

L’avantage procuré par une roulette voilée, démonstration :

  • Joseph Jagger joue sur une roulette européenne (un 0).

Supposons que la roulette soit défaillante et qu’un tiers (12 chiffres) de la roulette tombe plus fréquemment. On mise toujours sur ces 12 numéros (un montant égal à 1 sur chaque).

 

Il y a alors 25 n° sur les 37 entrainant la perte des 12 jetons et 12 n° entrainant le gain de 24 jetons.

 

  • On cherche l’écart α’ qu’il doit y avoir entre la probabilité théorique et la probabilité d’un roulette voilée pour que la mise des 12 n° donne un avantage au joueur.

 

 

A : avantage

P : probabilité

 

A = -12 (Pperdre) + 24(Pgagner)

 

Si roulette équilibrée :

P1perdre= 25/37 et P1gagner= 12/37, Soit :

Athéorique = -12(25/37) + 24(12/37)= -2.63

 

Mais la roulette n’est pas équilibrée :

Puisqu’on mise stratégiquement, on mise sur les n° tombant les plus souvent. Donc :

P2perdre < P1perdre et P2gagner > P1gagner

Donc Ajagger > Athéorique

 

De plus, s’il gagne c’est que Ajagger > 0

 24*P2 gagner -12*P2 perdre > 0

 2*P2gagner > P2perdre

 

On suppose que les 12 nombres pariés ont la même probabilité de sortir

Soit α cette probabilité, α >0 et α = P2gagner/12

12α = P2gagner

On suppose que les 25 nombres perdant ont la même probabilité de sortir

Soit β cette probabilité, β >0 et β = P2perdre/25

25 β = P2perdre

 

 24 α > 25 β

 

On pose α’ l’écart entre P2gagner et P1gagner

Donc, α’>0 et α’= 12 α – 12/37 = α-1/37  α = 1/37 + α’

On pose β’ l’écart entre P2perdre et P1perdre

Donc, β’>0 et β’= 25 β – 25/37 = β-1/37 β = 1/37 + β’

 

 24(1/37+ α’) > 25(1/37+ β’)

 24 α’ > 1/37 + 25 β’[E1]

 

Or, la somme de P2gagner+P2perdre=1

Donc α + β =1, soit : 2/37 +β’+α’=1, ou encore : β’+α’= 35/37

Donc β’= 35/37-α’

 

 24 α’ > 1/37 + 25(35/37-α’)

 24 α’ > 1/37 + 25(35/37) -25α’

 49 α’ > 1/37 + 25(35/37)

 α’> (1+25*35)/(37*49)

 α’> 876/1813 soit environ 0.483

 

 

Conclusion :

 

Pour avoir un avantage, l’écart entre la probabilité prévue par le casino qu’un nombre soit tiré et la probabilité réelle qu’il soit tiré doit être d’environ 0.483 au minimum.

Or : la probabilité prévue qu’un numéro sorte est de 1/37

Donc : pour que le joueur ait un avantage, il faut que la probabilité qu’un n° qu’il a misé sorte soit de 25/49.

Ce résultat est irréaliste.

Nos calculs sont donc faux.

 

 

 

Rectification :

 

 

L’erreur se situe juste après [E1] :

 

 24 α’ > 1/37 + 25 β’[E1]

 

Or, la somme de P2gagner+P2perdre=1

Donc 12 α + 25β =1, soit : 2/37 +β’+α’=1, ou encore : β’+α’= 35/37

Donc β’= 35/37-α’

12(1/37+ α’) + 25(1/37+ β’)=1

Ou encore 12/37+ 12α’ + 25/37+ 25 β’=1 soit 12α’+ 25 β’=1-12/37-25/37=0

D’où β’=12/25 α’

De plus α = 1/37 + α’


 24 α’ > 1/37 + 25(35/37-α’)

 24 α’ > 1/37 + 25(35/37) -25α’

 49 α’ > 1/37 + 25(35/37)

 α’> (1+25*35)/(37*49)

 α’> 876/1813 soit environ 0.483

 

 24 α’ > 1/37 + 25(12/25) α’

 24 α’ > 1/37 + 12 α’

 12 α’ > 1/37

 α’ > 1/444 soit environ 2.252 * 10^-3

 

 

Conclusion Bis :

 

Pour avoir un avantage, l’écart entre la probabilité prévue par le casino qu’un nombre soit tiré et la probabilité réelle qu’il soit tiré doit être d’environ 0.483 2.252 * 10^-3 au minimum.

Or : la probabilité prévue qu’un numéro sorte est de 1/37

Donc : pour que le joueur ait un avantage, il faut que la probabilité qu’un n° qu’il a misé sorte soit de 25/49. 1/444+1/37= 13/444 environ égal à 0.02928 au minimum


Vérification :

α = 13/444

 P2gagner = 12 α = 156/444=13/37 (au lieu de 12/37 pour P1gagner)

 P1gagner = 1- P2gagner = 24/37 (au lieu de 25/37 pour P1perdre)

 Ajagger = -12 (P2perdre) + 24(P2gagner)

= -12(24/37) + 24(13/37)

= +1/37

= + 2.63


Ainsi Jagger a renversé l’avantage du casino en sa faveur ! Et il est important de noter que plus α’ croit, plus α croit, plus P2gagner croit, plus P2perdre diminue et plus Ajagger augmente ! Il est raisonnable de penser que Jagger a au à faire avec un α’ plus élevé, pour que les gains s’élèvent à 15 000 $ en un soir, soit 5 heures de jeu max, cela revient à dire en moyenne (30 tirage /heure) soit 150 tirages. Soit un gain moyen de 100$/tirage soit avec un avantage (Ajagger) de 5%, des mises d’un montant moyen de 2000$. Il faut être bien sur de son coup et avoir des ressources.


Comme quoi, la science avance bien en apprenant de ses erreurs !

 

 

  • Expériences : Longue vie à excel!

 

Dans le cadre de nos recherches sur la roulette, nous avons utilisé les ressources du tableur excel, pour réaliser différentes simulations et ainsi vérifier nos conjectures, démontrer des phénomènes, et parfois même en découvrir.

Le site ne prenant pas en charge les documents excels, nous vous proposons de télécharger dans cette rubrique, quelques simulation et notamment :

_Un fichier visant à démontrer la loi des grands nombres à l'aide d'un roulette, on remarque que le nombre d'occurences de chaque nombres tends vers un même nombre coresspondant à la probabilité (1/38) de tomber du nombre : Loi des grands nombres

 

_Un fichier visant à simuler une roulette défaillante, pour illustrer l'histoire de Joseph jagger et des Pelayos, on remarque que pour certains nombres (prédéfinis dans la formule de calcul) le nombre de leurs occurence est nettement superieur à celui des autres : la roulette est voilée!  :roulette défaillante

 

Nous avons aussi effectué un certain nombre de tirages manuels pour effectuer des statistiques sans "l'aléatoire" programmé par ordinateur : Tirages manuels

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