a). Stratégie de base

  • Stratégie de base

Appliquer la stratégie de base augmente grandement l'avantage du joueur par rapport au casino. C'est donc une stratégie pour gagner plus, mais aussi pour perdre moins.

Voici un exemple de tableau de stratégie de base disponible sur internet,

Içi cette stratégie a été calculé pour un jeu de 52 cartes et un croupier s'arretant à 17

 

Stratégie de base pour un jeu de 52 cartes

 

Exemple d'utilisation : Le joueur a un As et un 3 en main et le croupier un 5 en main. Le joueur regarde le tableau : ligne 12, colonne 4 ; et double sa mise si c'est permis sinon il tire.

 

  • Etude de la stratégie de base

 

On considérera dans la démonstration qui suit une partie de Black jack ayant les caractéristiques suivantes (sauf précision contraires):

-Un talon composé d'un seul et unique jeu de 52 cartes.

-Quatre joueurs quelconques.

-Un croupier quelconque.

-Toutes les cartes distribuées sont dévoilées y compris celles du croupier.

-le jeu est mélangé avant la partie.

-Toutes les cartes tombées sont mises de coté jusqu'à ce que 70% du jeu complet (soit environ 36 cartes) au moins ait été tiré.

-Une fois 70 % du jeu complet tombé; il y a remise des cartes tombées dans le talon et le jeu complet est mélangé de nouveau.

-Les autres règles du black jack sont respectées.

 

  1. L'importance de l'as au Black Jack.

 

               1) Une carte à double visage.

 

On a vu que lorsqu'un joueur possède un As dans sa main, il peut choisir de le considérer comme une carte de valeur v=1 ou (exclusif) v=11.

Cette caractéristique de l'as fait qu'un as représente en fait deux cartes de valeurs différentes.

De plus un jeu de 52 cartes contient 4 As, ce qui revient à dire qu'un jeu de 52 cartes au black jack en contient en fait 4 de plus.

 

On étudiera donc un jeu composé de 56 cartes au lieu de 52 :

 

avec:

Ntc : Nombre total de cartes

Ntcs : Nombre total de cartes supposé

 

Ntc=Ntcs+4=52+4=56

 

 

             2) L'as ou la clé du black jack.

 

Le seul moyen de faire un black jack  est d'avoir une main composé strictement de deux cartes dont la somme des valeurs(Σ2c) est égale à 21.

Bj<=>Σv2c=Vc1+Vc2=21 avec : Bj : Black jack payé à 3/2 de la mise du joueur.

Vc1 et Vc2 : Valeurs de deux cartes du jeu données

 

Or les valeurs des cartes d'un jeu varient entre 1 et 11:

 

1 Vc 11 avec : Vc : Valeur d'une carte quelconque du jeu.

 

Trouver les valeurs des cartes Vc1 et Vc2 tel que leurs somme soit égale à 21 revient à résoudre l'équation à deux inconnues suivante :

Vc1+Vc2=21

Avec 1Vc1⦤11 et 1⦤Vc2⦤11

 

 

  • Remarquons tout d'abord que si Vc1=11 et Vc2=11, alors Σv2c>21 puisque Σv2c=22.

Cette remarque est importante car elle montre qu'il est impossible, lorsqu'on a une pair d'as de décider que les deux valent 11.

Elle justifie aussi l'existence de la technique appelée « Split » (séparer en français) pour une paire d'as qui a été expliquée dans « les règles du black jack ».

On ajoutera, concernant le Split d'une paire d'as (en considérant les as comme valant 11), qu'il est logique qu'on ne puisse tirer qu'une seule carte après avoir splitté cette paire spécifique puisque la moyenne(Mvc) des valeurs des cartes ou la valeur moyenne d'une carte dans un jeu de black jack est de :

avec : Σv56c : Somme des valeurs des 56 cartes

 

Mvc=Σv56c /56=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10*4+11)*4/56=6,9≃7

 

 

Ainsi si l'on tirait deux cartes après avoir splitté notre pair d'as, on aurait une main de valeur moyenne (VmM3c1as(11)) :

Avec :

Vcas : Valeur de l'as =11

V(mM3c1as(11)) : Valeur moyenne d'une main de trois cartes avec un as de valeur 11

 

V(mM3c1as(11))=Vcas+2*Mvc=11+2*7=25>21

 

On perdrait puisque notre main dépasserait  21.

 

Bien sur cette moyenne manque de précision car elle ne prend pas en compte les deux cartes reçues précédement c'est à dire un as et un carte de valeur moyenne égale à 7. Ainsi si l'on fait le calcul correct on obtient :

Avec : V(mM3c1as (11)): valeur moyenne d'une main de trois cartes contenant un as de valeur 11.

Vcas : Valeur de l'as =11

Mvc(-1as) : Valeur moyenne d'une carte d'un jeu de 56 cartes – 1 as

Mvc(-1as-1cm) : Valeur moyenne d'une carte d'un jeu de 56 cartes – 1 as – 1 carte de valeur =Mvc-1as

 

V(mM3c1as(11))= Vcas + Mvc(-1as) + Mvc(-1as-1cm)=11+((1+2+3+4+5+6+7+8+9+10*4)*4+11*3)/55+((1+2+3+4+5+6+8+9+10*4)*4+11*3+7*3)/54=11+6,78+6,4≃11+7+6≃24>21

 

On perdrait donc en moyenne si l'on tirait deux cartes après avoir splittée une paire d'as(valant 11 chacun), c'est pour cela que l'on ne peut tirer qu'une carte après avoir splitté une pair d'as.

 

  • Revenons maintenant à notre équation :

 

On a vu que si Vc1=11 alors Vc2<11

 

Posons donc Vc1=11 on a :

 

Vc1+Vc2=21<=>11+ Vc2=21

 

D'où Vc1=11 et Vc2=10

 

Ces résultats signifient que pour faire un black jack il faut avoir une main composée d'un As et d'une tête (ou un dix).Or le jeu de 52 cartes étudié contient 4 As, 12 tête, et 4 dix.

 

 

 

  • On va chercher à savoir quelle est la probabilité d'avoir un black jack au premier tirage d'une partie.

Posons :

-une probabilité Pas d'avoir un As dans notre main.

-une probabilité Pcv10 d'avoir une carte de valeur 10.

-une probabilité PBJ d'avoir un Black Jack

 

On sait que la probabilité d'un événement est égale à la somme des événements élémentaires qui le composent.

 

D'où

 

PBJ= P(as∩cv10)=(1/13)*(16/51)+(4/13)*(4/51)=0,048≃0,05

 

Ce qui signifie que sur 100 distributions de cartes on aura 5 Black Jack.

 

Notons que l'on s'intéresse ici au nombre de cartes physiques et non à leurs valeurs c'est pourquoi on divise par 52 et non par 56.

 

Imaginons maintenant qu'un joueur triche et qu'il ait un as supplémentaire dans sa manche, il le rajoutera lorsqu'il aura reçu un 10 ; on aura donc:

 

PBJ= P(AS∩CV10)=Pcv10 =16/52=0,3

 

Ce joueur a 3 chances sur 10 de faire un black jack, ce qui multiplie ses chances d'avoir un black jack par 6, Cela reste néanmoins plus faible qu'une chance sur 2.

Ainsi l'as joue un rôle important dans l'obtention d'un Black Jack. Mais lorsqu'on joue au Black Jack il est réaliste de ne pas espérer avoir de Black Jack souvent; Il faut donc, pour gagner, une autre manière;

C'est ainsi que Roger Baldwin établi la stratégie de base, qui exprime la meilleure tactique à adopter en fonction de la carte du croupier et des deux cartes du joueur.

 

  1. La stratégie de base.

     

     

  • Principe de calcul :

Déterminer la stratégie de base, revient en fait à déterminer, pour chaque combinaison de cartes du joueur possibles et de la carte du croupier, quelle est la tactique offrant une espérance minimale au casino et une espérance maximale au joueur.

Pour cela Rodger Baldwin étudia au cas par cas toutes les combinaisons de cartes possibles, détermina les probabilités associées à chacun des arrangements de chaque combinaisons et ensuite fit la somme de ces probabilités pour obtenir la probabilité qu’une combinaison de carte tombe.

Le tableau de la stratégie de base contient 360 cases, pour chaque cas il éxiste en moyenne plus de 200 combinaisons possibles. Chaque combinaison possède en moyenne 7 cartes. Il existe donc en moyenne :7*6*5*4* 3*2*1=5040 arrangements différents pour chaque combinaison. Soit en moyenne 5040*200=1 008 000 Arrangements et donc probabilités pour une case. Sachant qu’il existe 360 cases pour une stratégie de base, l’établir représente en moyenne 362 80 000 calculs et ceci n’est qu’une moyenne. Le nombre d’arrangements possibles augmentant énormément avec l’ajout d’une carte.

On comprendra bien sur l’utilité de l’utilisation d’une équipe de scientifiques et de super calculateurs pour établir la stratégie de base.

Le nombre de calculs à effectuer étant très conséquent on ne s’attachera qu’à un cas très particulier.

 

Nous n'allons étudier qu'un seul cas ici, pour exprimer le principe de calcul de la stratégie de base. En considérant un seul jeu de 52 cartes, un seul joueur et un croupier. Nous n’utiliseront pas la méthode expliquée précédemment car elle serait extrêment longue et complexe.

Néanmoins nous allons essayer d’utiliser la logique.

Pour étudier le cas le plus probable, on cherche tout d'abord à déterminer la main moyenne du joueur puisqu'il reçoit sa première carte en premier. On détermine donc la valeur moyenne d'une main de deux cartes (VmM2c) pour un jeu de 52 cartes.

 

On a :

 

VmM2c=(NΣ2cv=2*VΣ2c+NΣ2cv=3*VΣ2c+NΣ2cv=4*VΣ2c+NΣ2cv=5*VΣ2c+NΣ2cv=6*VΣ2c+NΣ2cv=7*VΣ2c+NΣ2cv=8*VΣ2c+NΣ2cv=9*VΣ2c+NΣ2cv=10*

VΣ2c+NΣ2cv=11*VΣ2c+NΣ2cv=12*VΣ2c+NΣ2cv=13*VΣ2c+NΣ2cv=14*VΣ2c+NΣ2cv=15*VΣ2c+NΣ2cv=16*VΣ2c+NΣ2cv=17*VΣ2c+NΣ2cv=18*VΣ2c+NΣ2cv=19*

VΣ2c+NΣ2cv=20*VΣ2c+NΣ2cv=21*VΣ2c)/ΣNcomb2cp

 

Avec :

NΣ2cv=2; NΣ2cv=3....: Nombre de sommes de deux cartes ayant une valeur = 2 ; valeur=3 ; ....

ΣNcomb2cp : Somme du nombre de combinaison possible de deux cartes.

VΣ2c=Valeur de la somme des deux cartes

Notons que l'on ne peut pas avoir une combinaison de deux cartes égale à 1

 

VmM2c=(1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+7*8+8*9+9*10+16*11+17*12+16*13+15*14+14*15+13*16+12*17+11*18+10*19+9*20+8*21/(1+2+3+4+5+6+7+8*2+9*2+10+11+

12+13+14+15+16*2+17)=13,36=13

 

Le joueur aura donc une main de deux cartes ayant une valeur égale à 13 soit une main composées d'un 6 et d'un 7 puisque Mvc=7.

 

Intéressons nous maintenant à la carte du croupier. On a vu que Mvc=7 néanmoins, il faut retirer les deux cartes du joueur au calcul de la moyenne. Ainsi la carte du croupier (Cc) sera un:

Cc= Σv53c-6-7=((1+2+3+4+5+8+9+10*4+11)*4+3*6+3*7)/54=6,9=7

Le croupier aura donc un 7 en main.

 

Maintenant que nous avons déterminé que le joueur aura un 6 et un 7 en main et que le croupier aura un 7 en main.

 

Il nous reste maintenant à déterminer quelle tactique est la plus avantageuse pour le joueur : tire, rester, doubler?

  • Application

Pour cela on va déterminer avec quelle tactique le joueur a-t-il plus de chance de se faire battre par le croupier.

 

Etudions successivement les différents cas :

 

Cas 1 : Le joueur décide de rester à 13.

Le joueur ne tire pas de carte.

C'est donc au tour croupier de tirer une carte.

Le croupier tire une ou plusieurs carte jusqu'à atteindre 17 ou plus. Celui-ci aura donc de toute manière une carte superieure à celle du joueur. De plus il atteindra , au premier tirage, au maximum 18, si il reçoit un as. Rester serait donc suicidaire.

 

Cas 2 : Le joueur décide de tirer.

Il s’agit donc de savoir quelles chances a-t-il de faire 18 ou plus et donc de battre le croupier ?

Le joueur tirera en moyenne une carte de valeur à peu près égale à 6,5 soit un 7 ou un 6.

Il aura donc soit une main de 20 ou de 19 en moyenne. Donc plus que le croupier. Il aura donc tout intérêt de tirer mais une seule carte.

 

Cas 3 : Doit-il pour autant doubler sa mise ?

On a étudié les cas précédents à l’aide de valeur moyenne, néanmoins pour doubler une mise il faut que l’écart entre la main du croupier et la main du joueur soit certain. Ici on étudie des cas où l’écart moyen entre le joueur et le croupier est de 2. L’incertitude fait que doubler ferait prendre un risque supérieur au rendement en cas de gain du joueur.

Le joueur ne doublera donc pas sa mise.

 

 

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